Калькулятор НОД и НОК
НОД(48, 180) = 12, а НОК(48, 180) = 720. Введите от двух до пяти целых чисел — калькулятор найдёт наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, распишет алгоритм Евклида по шагам и разложит числа на простые множители.
Инструмент
Как найти НОД и НОК
Наибольший общий делитель — самое большое число, на которое делятся все заданные без остатка; наименьшее общее кратное — самое маленькое число, которое делится на каждое из них. Их находят двумя способами: разложением на простые множители или алгоритмом Евклида, а НОК проще всего получить через НОД.
разложение: 48 = 2⁴ · 3, 180 = 2² · 3² · 5
НОД = 2² · 3 = 12 (общие простые в наименьшей степени)
НОК = 2⁴ · 3² · 5 = 720 (все простые в наибольшей степени)
через НОД: НОК(a, b) = a · b ÷ НОД(a, b) = 48 · 180 ÷ 12 = 720
Пример вручную по алгоритму Евклида: 180 = 48 · 3 + 36; 48 = 36 · 1 + 12; 36 = 12 · 3 + 0. Остаток стал нулём, последний делитель 12 — это НОД. Чем удобен алгоритм: он не требует раскладывать числа на множители и за десяток шагов справляется с двенадцатизначными числами, тогда как перебор делителей для них занял бы часы. Калькулятор показывает оба способа: шаги Евклида в поле решения и таблицу простых множителей под результатом.
Алгоритм Евклида для трёх и более чисел
НОД нескольких чисел считают по цепочке: НОД(12, 18, 24) = НОД(НОД(12, 18), 24) = НОД(6, 24) = 6. НОК — так же: НОК(12, 18) = 36, НОК(36, 24) = 72. Через множители тот же ответ: 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3², 24 = 2³ · 3, общие в наименьшей степени — 2 · 3 = 6, все в наибольшей — 2³ · 3² = 72.
| Числа | НОД | НОК | Примечание |
|---|---|---|---|
| 8, 12 | 4 | 24 | 8 · 12 ÷ 4 = 24 |
| 7, 13 | 1 | 91 | взаимно простые |
| 15, 25 | 5 | 75 | |
| 36, 36 | 36 | 36 | равные числа |
| 12, 18, 24 | 6 | 72 | три числа |
| 0, 15 | 15 | 0 | НОД с нулём — само число |
Проверка для двух чисел: произведение чисел всегда равно произведению НОД и НОК. 8 · 12 = 96 = 4 · 24. Для трёх и более чисел это правило уже не работает.
Где нужны НОД и НОК
- Дроби — общий знаменатель для 1/12 и 1/18 — это НОК(12, 18) = 36; сокращение дроби 48/180 — деление на НОД = 12, получается 4/15.
- Задачи 5–6 класса — «два автобуса отправляются с вокзала каждые 12 и 18 минут; через сколько они снова выедут вместе?» — через НОК(12, 18) = 36 минут. «Ленты 48 и 180 см нужно разрезать на равные куски наибольшей длины» — по НОД = 12 см.
- Ремонт — для комнаты 480 × 360 см наибольшая квадратная плитка без подрезки — НОД(480, 360) = 120 см, а сетка 4 × 3 плитки закроет пол целиком.
- Техника и программирование — передаточные числа шестерён, периоды повторяющихся событий, криптография RSA, где ключи строятся на взаимно простых числах.
Пример расчёта
- Исходные данные: Числа (от 2 до 5) — 48, 180; Главный результат — НОД — наибольший общий делитель.
- Формула: НОД = 12; НОК = 48 · 180 ÷ 12 = 720.
- Результат: НОД(48, 180) = 12 (НОД(48, 180) — 12; НОК(48, 180) — 720; Взаимно простые — нет — общий делитель 12; Проверка: a · b = НОД · НОК — 48 · 180 = 8 640 = 12 · 720).
Вопросы и ответы
Как найти НОД по алгоритму Евклида?
Делите большее число на меньшее с остатком, затем меньшее — на остаток, и так до нулевого остатка: последний ненулевой остаток и есть НОД. Для 180 и 48: 180 = 48 · 3 + 36, 48 = 36 · 1 + 12, 36 = 12 · 3 + 0, значит НОД = 12. Способ работает для любых чисел и не требует разложения на множители.
Как найти НОК через НОД?
Перемножьте числа и разделите на их НОД: НОК(a, b) = a · b ÷ НОД(a, b). Для 48 и 180: 48 · 180 = 8 640, делим на 12 — получаем 720. Для трёх и более чисел НОК считают последовательно: сначала для первых двух, потом для результата и третьего числа.
Что такое взаимно простые числа?
Числа, у которых НОД равен 1, то есть нет общих делителей, кроме единицы: 7 и 13, 8 и 9, 15 и 28. Сами числа при этом могут быть составными — 8 и 9 не простые, но взаимно простые. НОК взаимно простых чисел равно их произведению: НОК(7, 13) = 91.
Как найти НОД и НОК трёх и более чисел?
НОД(a, b, c) = НОД(НОД(a, b), c), аналогично для НОК — калькулятор так и делает, показывая алгоритм Евклида для каждой пары. Через простые множители: в НОД берут общие простые в наименьшей степени, в НОК — все простые в наибольшей. Для 12, 18, 24 НОД = 6, НОК = 72.
Чему равен НОД числа и нуля?
Самому числу: НОД(15, 0) = 15, потому что ноль делится на любое число. НОК с нулём принимают равным 0. Отрицательные числа НОД и НОК не меняют — считаются по модулю: НОД(−12, 18) = 6. Дробные числа калькулятор не принимает: делители определены только для целых.
Обновлено: