Калькулятор квадратных уравнений
x² − 5x + 6 = 0: D = 1, корни x₁ = 3 и x₂ = 2. Введите коэффициенты a, b, c — калькулятор посчитает дискриминант, найдёт корни (в том числе комплексные), проверит их по теореме Виета и покажет вершину параболы.
Инструмент
Как решить квадратное уравнение
Квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 решают через дискриминант D = b² − 4ac: его знак определяет число корней, а сами корни находят по формуле x = (−b ± √D) ÷ 2a. Для x² − 5x + 6 = 0 дискриминант равен 25 − 24 = 1, корни — 3 и 2.
D = b² − 4ac
x₁ = (−b + √D) ÷ 2a, x₂ = (−b − √D) ÷ 2a
D > 0 — два корня, D = 0 — один корень x = −b ÷ 2a, D < 0 — действительных корней нет
Пример вручную: x² − 5x + 6 = 0, значит a = 1, b = −5, c = 6. D = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1, √D = 1. Корни: x₁ = (5 + 1) ÷ 2 = 3, x₂ = (5 − 1) ÷ 2 = 2. Проверка по теореме Виета: 3 + 2 = 5 = −b, 3 × 2 = 6 = c. Подстановка в уравнение: 9 − 15 + 6 = 0 и 4 − 10 + 6 = 0 — верно.
Калькулятор принимает дробные и отрицательные коэффициенты (0,5; −1,5), считает по устойчивой формуле без потери точности при больших числах и выводит вершину параболы (−b ÷ 2a; y₀) — точку минимума при a > 0 или максимума при a < 0.
Дискриминант и число корней
| Дискриминант | Корни | Пример |
|---|---|---|
| D > 0 | два разных действительных | x² − 5x + 6 = 0 → 3 и 2 |
| D = 0 | один корень кратности 2 | x² + 2x + 1 = 0 → −1 |
| D < 0 | два комплексно-сопряжённых | x² + 2x + 5 = 0 → −1 ± 2i |
Комплексные корни имеют вид α ± βi, где α = −b ÷ 2a, β = √|D| ÷ 2|a|. В школьном курсе ответ «корней нет» верен, в вузовской математике и электротехнике комплексные корни используются как обычные числа.
Неполные уравнения и теорема Виета
Неполные уравнения решаются без дискриминанта. При c = 0 выносим x за скобки: x² − 4x = 0 → x(x − 4) = 0 → корни 0 и 4. При b = 0 извлекаем корень: 2x² − 8 = 0 → x² = 4 → x = ±2. Если после переноса справа получилось отрицательное число (x² = −2), действительных корней нет.
Теорема Виета для приведённого уравнения x² + px + q = 0: x₁ + x₂ = −p, x₁ · x₂ = q. Она позволяет угадывать целые корни: у x² − 7x + 12 = 0 нужны два числа с суммой 7 и произведением 12 — это 3 и 4. Обратная теорема помогает составить уравнение по корням: для корней −2 и 5 получаем x² − 3x − 10 = 0.
Где встречаются квадратные уравнения
- ОГЭ и ЕГЭ — задания на корни, дискриминант, параметры; калькулятор удобен для проверки ответов и разбора шагов.
- Физика — равноускоренное движение: мяч, брошенный вверх со скоростью 20 м/с, вернётся на землю через t из уравнения 5t² − 20t = 0, то есть через 4 с.
- Геометрия и участки — прямоугольный участок площадью 6 соток (600 м²) с периметром 100 м имеет стороны из уравнения x² − 50x + 600 = 0: D = 100, стороны 20 и 30 м.
- Экономика — точка безубыточности при квадратичной зависимости выручки от цены, оптимальная цена как вершина параболы.
Пример расчёта
- Исходные данные: a (при x²) — 1; b (при x) — −5; c (свободный член) — 6.
- Формула: x = (−b ± √D) ÷ 2a, D = 1.
- Результат: x² − 5x + 6 = 0 — x₁ = 3; x₂ = 2 (Дискриминант D — 1; √D — 1; Теорема Виета — x₁ + x₂ = 5; x₁ · x₂ = 6; Вершина параболы — (2,5; −0,25)).
Вопросы и ответы
Что делать, если дискриминант отрицательный?
В действительных числах уравнение решений не имеет: парабола не пересекает ось x. В комплексных числах корни есть: x = (−b ± i√|D|) ÷ 2a. Для x² + 2x + 5 = 0 дискриминант равен −16, корни −1 + 2i и −1 − 2i. Калькулятор показывает оба варианта — и вывод об отсутствии действительных корней, и комплексные.
Сколько корней, если дискриминант равен нулю?
Один корень кратности два: x = −b ÷ 2a. Парабола касается оси x в одной точке. Например, x² + 2x + 1 = 0 — это (x + 1)² = 0, корень x = −1. В ответах ЕГЭ и ОГЭ такой корень записывают один раз, хотя формально он «двойной».
Как проверить корни по теореме Виета?
Для уравнения ax² + bx + c = 0 сумма корней равна −b ÷ a, произведение — c ÷ a. У x² − 5x + 6 = 0 корни 3 и 2: сумма 5 = −(−5) ÷ 1, произведение 6 = 6 ÷ 1 — верно. Для приведённых уравнений (a = 1) теорема позволяет подобрать целые корни устно, без дискриминанта.
Что будет, если a = 0?
Уравнение перестаёт быть квадратным и становится линейным: bx + c = 0, x = −c ÷ b. Дискриминант и теорема Виета к нему не применяются. Калькулятор решает такой случай отдельно, а при a = 0 и b = 0 сообщает, что решений нет (c ≠ 0) или что x — любое число (c = 0).
Как решить неполное квадратное уравнение без дискриминанта?
Если c = 0, вынесите x за скобки: x(ax + b) = 0, корни 0 и −b ÷ a. Если b = 0, перенесите c и извлеките корень: x = ±√(−c ÷ a), при −c ÷ a меньше нуля действительных корней нет. Например, x² − 4x = 0 даёт 0 и 4, а x² − 9 = 0 даёт ±3.
Обновлено: