Калькулятор степеней и корней
2¹⁰ = 1 024, а ∛27 = 3. Введите основание и показатель или подкоренное число и степень корня — калькулятор посчитает результат, покажет обратную величину, научную запись и точное значение больших степеней вроде 2¹⁰⁰.
Инструмент
Как возвести в степень и извлечь корень
Степень xⁿ при целом n — это произведение n одинаковых множителей: 2¹⁰ = 2 × 2 × … × 2 = 1 024. Отрицательный показатель переворачивает дробь, дробный — превращает степень в корень, а корень n-й степени — это степень 1/n. Все четыре случая считаются одной формулой.
xⁿ = x · x · … · x (n раз)
x⁻ⁿ = 1 ÷ xⁿ 2⁻³ = 1 ÷ 8 = 0,125
x^(p/q) = (корень q-й степени из x)ᵖ 8^(2/3) = (∛8)² = 4
ⁿ√x = x^(1/n) ∛27 = 27^(1/3) = 3
Пример вручную: 2¹⁰ считают последовательным удвоением — 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1 024. Кубический корень из 27 подбирают: 3 × 3 × 3 = 27, значит ∛27 = 3. Степень 4^1,5 раскладывают на корень и степень: √4 = 2, 2³ = 8. Для некруглых чисел калькулятор даёт 10 знаков после запятой: √2 = 1,4142135624, ⁵√100 = 2,5118864315.
Большие степени показываются в научной записи и точно: 2¹⁰⁰ = 1,268·10³⁰, полностью — 1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376 (31 цифра). Для целого основания точные цифры считаются длинной арифметикой, поэтому 3⁴⁰ = 12 157 665 459 056 928 801 выводится без потери младших разрядов, которую даёт обычная плавающая точка после 2⁵³ ≈ 9·10¹⁵. Предел вычислений — 1,8·10³⁰⁸, поэтому 10¹⁰⁰⁰ даёт ошибку переполнения.
Свойства степеней и корней
| Свойство | Формула | Пример |
|---|---|---|
| Произведение степеней | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| Частное степеней | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 5⁶ ÷ 5⁴ = 25 |
| Степень степени | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (3²)³ = 3⁶ = 729 |
| Нулевая степень | a⁰ = 1, a ≠ 0 | 7⁰ = 1 |
| Корень произведения | ⁿ√(ab) = ⁿ√a · ⁿ√b | √(4 · 9) = 2 · 3 = 6 |
| Корень из степени | ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n) | √(2⁶) = 2³ = 8 |
Основание с отрицательным знаком нужно брать в скобки: (−2)⁴ = 16, но −2⁴ = −16, потому что степень выполняется раньше знака минус. Знак сохраняется только при нечётном показателе: (−2)³ = −8.
Корни из отрицательных чисел и дробные показатели
Корень нечётной степени из отрицательного числа существует и отрицателен: ∛(−8) = −2, ⁵√(−32) = −2. Для дробного показателя калькулятор проверяет знаменатель: (−8)^(1/3) = −2, (−8)^(2/3) = 4, а (−4)^0,5 не имеет действительного значения, потому что 0,5 = 1/2 — знаменатель чётный. Показатель 0,333333 распознаётся как 1/3, а 0,4 — как 2/5.
Где применяются степени и корни
- Сложные проценты — вклад под 10 % за 3 года вырастает в 1,1³ = 1,331 раза; обратная задача (какая ставка удвоит сумму за 5 лет) решается корнем: ⁵√2 = 1,1487, то есть 14,87 % годовых.
- Площадь и объём — квадратный участок в 6 соток (600 м²) имеет сторону √600 ≈ 24,49 м; куб объёмом 1 м³ — ребро ∛1 = 1 м, а бак на 500 л — ребро ∛0,5 ≈ 0,794 м.
- Информатика — 1 КиБ (кибибайт, в быту «килобайт») = 2¹⁰ = 1 024 байта, 1 ГиБ = 2³⁰ = 1 073 741 824 байта; 8 бит кодируют 2⁸ = 256 значений, 32-битное число — до 2³² ≈ 4,29·10⁹.
- Физика и звук — интенсивность звука 10⁻¹² Вт/м² на пороге слышимости; каждые 10 дБ — увеличение в 10 раз.
Пример расчёта
- Исходные данные: Что посчитать — Возвести в степень xⁿ; Основание x — 2; Показатель n — 10.
- Формула: 2¹⁰ = 1 024.
- Результат: 2 в степени 10 — 1 024 (Научная запись — 1,024·10³; Обратная величина (x⁻ⁿ) — 0,0009765625).
Вопросы и ответы
Что значит отрицательная степень?
Это обратная величина положительной степени: x⁻ⁿ = 1 ÷ xⁿ. Например, 2⁻³ = 1 ÷ 2³ = 1 ÷ 8 = 0,125, а 10⁻² = 0,01. Ноль в отрицательную степень возвести нельзя — получится деление на ноль, и калькулятор сообщит об ошибке.
Как считать дробную степень?
Дробный показатель — это корень: x^(p/q) — корень q-й степени из x, возведённый в степень p. Показатель 0,5 означает квадратный корень (4^0,5 = 2), показатель 1/3 — кубический (8^(1/3) = 2), а 4^1,5 = (√4)³ = 8. В калькуляторе показатель вводится десятичной дробью с запятой: 0,5, 1,5, −0,25; 0,333333 распознаётся как 1/3.
Можно ли извлечь корень из отрицательного числа?
Корень нечётной степени — можно: ∛(−8) = −2, потому что (−2)³ = −8. Корень чётной степени из отрицательного числа в действительных числах не существует: √(−4) требует мнимой единицы i и равен 2i. Калькулятор считает нечётные корни из отрицательных чисел и предупреждает о чётных.
Чему равно число в нулевой степени и 0⁰?
Любое число, кроме нуля, в нулевой степени равно 1: 5⁰ = 1, (−3)⁰ = 1, 0,5⁰ = 1. Выражение 0⁰ формально не определено, но по соглашению в большинстве калькуляторов, языков программирования и комбинаторике принимается равным 1 — так же поступает и этот калькулятор, о чём сообщает в примечании.
Как извлечь корень без калькулятора?
Подбором и уточнением: √50 лежит между 7 (49) и 8 (64), ближе к 7, пробуем 7,1 → 50,41, значит √50 ≈ 7,07. Точнее — методом Ньютона: x₁ = (x₀ + a ÷ x₀) ÷ 2. Для √50 с x₀ = 7 получаем (7 + 50 ÷ 7) ÷ 2 = 7,0714, ещё шаг — 7,0711, это и есть верный ответ до 4 знаков.
Обновлено: