Калькулятор треугольника

Как рассчитать площадь треугольника по трём сторонам

Площадь треугольника по трём сторонам находят по формуле Герона: сначала полупериметр, затем корень из произведения. Способ работает для любого треугольника — не нужно знать ни высоту, ни углы, поэтому именно он используется для участков, кровли и раскроя, где измерить можно только длины.

p = (a + b + c) ÷ 2
S = √(p × (p − a) × (p − b) × (p − c))
cos α = (b² + c² − a²) ÷ (2 × b × c)

Пример вручную для египетского треугольника 3, 4, 5: полупериметр p = (3 + 4 + 5) ÷ 2 = 6; под корнем 6 × 3 × 2 × 1 = 36, значит S = 6. Угол напротив стороны 3: cos α = (16 + 25 − 9) ÷ 40 = 0,8, α = 36,87°; напротив стороны 4 — 53,13°, а третий угол 180° − 36,87° − 53,13° = 90°, то есть фигура прямоугольная.

Пример из жизни: угловой участок со сторонами 30, 40 и 50 м. p = 60, S = √(60 × 30 × 20 × 10) = √360 000 = 600 м², или 6 соток — столько указано в выписке ЕГРН, и расчёт подтверждает межевание. Перед вычислением проверяется неравенство треугольника: сумма любых двух сторон должна быть больше третьей, иначе фигуры не существует — стороны 1, 2, 3 «складываются» в отрезок.

Что такое калькулятор треугольника

Калькулятор треугольника — это инструмент, который по известным элементам (три стороны; две стороны и угол; сторона и два угла) находит остальные: площадь, периметр, углы, высоты, медианы, радиусы вписанной и описанной окружностей. Расчёт опирается на формулу Герона, теоремы синусов и косинусов.

Две стороны и угол, сторона и два угла

Если известны две стороны и угол между ними, третью сторону даёт теорема косинусов, а площадь — половина произведения сторон на синус угла. Стороны 5 и 7 при угле 60°: c² = 25 + 49 − 2 × 5 × 7 × 0,5 = 39, c = 6,245; S = ½ × 5 × 7 × sin 60° = 17,5 × 0,866 = 15,155.

Если известны сторона и два прилежащих угла, третий угол равен 180° минус два известных, а остальные стороны находят по теореме синусов: a ÷ sin α = b ÷ sin β = c ÷ sin γ = 2R. Сторона 10 при углах 30° и 60°: γ = 90°, a = 10 × sin 30° ÷ sin 90° = 5, b = 10 × sin 60° = 8,66, площадь 21,65. Так решают задачи геодезии, когда доступна одна сторона (базис) и углы, снятые теодолитом с её концов.

Высоты, медианы и окружности

Высота опускается на сторону под прямым углом и равна удвоенной площади, делённой на эту сторону: hₐ = 2S ÷ a. Для сторон 3, 4, 5 высоты равны 4, 3 и 2,4. Медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны: mₐ = ½ × √(2b² + 2c² − a²); в прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна её половине — 2,5.

Радиус вписанной окружности r = S ÷ p, описанной — R = abc ÷ (4S). У фигуры 3-4-5 это 1 и 2,5: центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит ровно на середине гипотенузы. Эти радиусы нужны при расчёте круглой заготовки под треугольную деталь и при построении фундамента шестигранной беседки из равносторонних сегментов.

Типы треугольников

Проверка на прямой угол через теорему Пифагора удобна на стройке: отложив по стенам 3 и 4 м, промеряют диагональ — если она 5 м, угол комнаты прямой. Строители называют это «правилом 3-4-5» и применяют при разметке фундамента и укладке плитки. Равносторонний треугольник со стороной 2,5 м даёт площадь 2,71 м² — типичный размер парусного тента над террасой.